La logique (5) - Le raisonnement Aller aux commentaires

20 novembre 2014

Hi'.

Vous allez rire, j'ai voulu écrire cet article en mode "bon allez abrégeons" et après trois heures de rédaction je me suis rendu compte que même moi je 'comprenais plus ce que j'écrivais.

Ouais j'avais voulu simplifier les choses mais wow, je ne suis définitivement pas pédagogue, et maintenant qu'on en est arrivé au tournant, au moment clé, celui où on passe enfin à l'application, ben... pfouuuh... j'ai l'impression qu'il reste encore mille choses à vous introduire avant d'oser le faire.

Laissez-moi vous expliquer.

Dans le second article sur la logique, on avait ce passage :

1) Twilight hésitait. Starswirl avait raison, mais si elle le soutenait elle allait perdre ses amies. Pire encore, elle risquait de perdre Dash ! Mais, se dit-elle, il avait raison !

Notre but désormais, maintenant qu'on a tout l'attirail logique pour, est de traduire cela en termes logiques et, dans la foulée, découvrir comment fonctionne le texte.

Le problème c'est que le résultat c'est ça (fermez vos yeux ça équivaut à un screamer) :

1a) [pqrs][ >( MAIS(p) >( MAIS( >( q s ) >( MAIS( >( q r ) >( p MAIS( p MAIS( ^( >( q r ) >( q s ) p ) ) ) ) ) ) ]

À une ou deux parenthèses près. Autant dire que c'est au-delà de l'illisible et qu'il y a tellement de trucs nouveaux qu'en voyant ça je me suis presque foutu une gifle.

Alors.

1. L'hypothèse

Déjà, je suis forcé de revenir sur l'hypothèse. J'avais introduit ce terme dans le second article et dit que c'était "un truc dont on sait pas si c'est vrai mais on fait comme si".

En gros on a "p", qui est une variable, ça vaut donc 10 (ce qui signifie que "ça peut être vrai ou faux"). Si on écrit notre variable toute seule :

1 p

Bah... la ligne 1, là, où on a écrit "p", elle vaut 10. Ah parce que oui, maintenant on va aligner les formules, à raison d'une formule par ligne, qu'on numérote :

1 blababla
2 balblabal
3 balba
4 ...

Et donc là notre ligne 1 vaut 10... ce qui ne veut strictement rien dire à part un haussement d'épaule monumental. Nous, on veut une valeur unique : VRAI ou FAUX. Donc on quantifie :

1 [p][ p ]

Eeeeet... c'est faux. Donc si on voulait faire l'hypothèse "p", en l'introduisant toute seule dès le départ on aurait une énorme erreur 404 "désolé votre variable c'est nawak je peux pas travailler dans ces conditions et je claque la porte".

Quand on raisonne, TOUTES nos expressions, TOUTES nos formules, TOUT doit être vrai.

Donc comment on fait ?

On fait des hypothèses.

C'est ce que je disais à propos de Twilight : elle n'énonce pas des vérités absolues, elle se contente de faire des hypothèses. Elle ne sait pas si Starswirl a raison, elle le suppose, elle part du principe que oui.

Mais alors à quoi ressemble une hypothèse ?

Je pourrais, ici, vous faire "ça ressemble à ça vos gueules" mais je me sens obligé de détailler. Ce qu'on veut, c'est une expression qui soit toujours vraie. Et ça, dans le dernier article (sur les quantificateurs), on connaît :

2) [p][ ≡( p p ) ]

Ça là on l'a dit c'est vrai de toute éternité, ça signifie que "p équivaut à p", "un chat est un chat", c'est le chat de Shrödinger, mort ou vif ça reste un chat. Ce qui signifie que "si c'est un chat alors c'est un chat" ou, en termes bien barbares et effrayants : "l'équivalence contient deux implications".

2a) [p][ >( p p ) ]

La formule en (2a) est toujours vraie également. Si "p équivaut à p" alors forcément, "p implique p". Et vous pouvez calculer les valeurs de vérité d'ailleurs :

2b) >( 10 10 ) = 11( 10 10 )

Pour rappel, donc, "p" vaut 10, ce qui signifie "il est vrai ou faux" et ">" vaut 1011, ce qui signifie "si p et q sont vrais, > est vrai. Si p est vrai mais q est faux, alors > est faux. Etc..." En l'occurrence là on n'a que des p et donc seulement deux cas de figure qui correspondent aux résultats 1 et 1. L'implication vaut donc toujours 1 et la quantification est contente.

Maintenant, si on paraphrase : dans le cas où "p" est faux, l'équivalence nous dit : "si p est faux alors p est faux". Grmf. Nous, on veut faire des hypothèses : on veut faire comme si p était vrai. Alors on paraphrase l'implication : "si p est faux alors p est vrai." Pour le comprendre il faut revenir à la valeur de vérité de l'implication et à son fonctionnement et c'est un brin compliqué et arbitraire.

L'important dans tout ça c'est que oui, >( p p ) est une hypothèse. On fait l'hypothèse que "p", et ça nous permet de dire "p". L'hypothèse est à gauche et à droite on peut mettre tout ce que cette hypothèse permet de conclure. On fait, littéralement, comme si p était vrai (dans les cas où il est faux c'est vrai quand même).

Donc quand Twilight dit "Starswirl avait raison", elle fait l'hypothèse :

1 [p][ >( p p ) ]

Où vous pouvez remplacer "p" par "Starswirl a raison". Elle dit "Si (on prétend que) Starswirl a raison, alors Starswirl a raison." C'est ce qu'on appelle aussi le contrat de lecture dans un texte, ou la suspension de crédulité du lecteur. On fait comme si ce que nous racontait le texte était vrai.

2. Les opérations

En logique classique, vous pourriez introduire "p" tout seul, vous appelleriez ça une prémisse et vous vous sentiriez un peu stupide. Enfin je sais pas c'est comme ça que je me suis senti moi, à faire "mais c'est quoi ce truc".

Dans la logique qu'on utilise ici, on travaillera toujours avec des hypothèses, donc avec des >( - - ). Et puisque les hypothèses nous assureront que tout ce qu'on écrit est toujours vrai, on peut se passer des quantificateurs ! Halléluiah !

Donc notre ligne 1 :

1 [p][ >( p p ) ]

On peut la réécrire en :

1 >( p p )

C'est déjà un peu plus lisible. Admettez. Ce n'est pas pour autant que vous devez faire comme si la quantification n'existait pas. Elle est toujours là. Et si vous l'oubliez, je la remets direct. C'est juste pour notre confort personnel mais n'oubliez jamais que tout ça est quantifié.

On va également, pour notre confort personnel, mettre les ">( ... )" en gras, question de bien les voir :

1 >( p p )

Et maintenant... on est libre ! On peut faire ce qu'on veut !

Je l'avais dit à propos des connecteurs, ceux-ci sont composés de trois choses : le symbole, la valeur de vérité et... les règles. Ces règles, dont on n'a pas encore parlé, nous disent ce qu'il est possible de faire avec ce connecteur.

Car oui, un connecteur ne sert pas juste à calculer les valeurs de vérité. Il permet d'opérer. Il permet de modifier les formules, d'en créer des nouvelles, etc...

Je ne vais pas passer en revue ici toutes les règles, il y en a beaucoup trop. Dans les faits je ne vous en montrerai que deux, mais juste par acquis de conscience je préciserai que chaque connecteur a deux règles (et plus si affinités) :
- Une règle d'introduction
- Une règle d'élimination
Chaque règle est alors représentée par le symbole suivi de la lettre "i" ou "e". Par exemple :

2.1 L'introduction de l'implication

">i" signifie "introduction de l'implication", parce que ">" c'est l'implication et "i" signifie introduction. Woohoo. Et comme c'est fait exprès, voyons cette règle.

Déjà, en termes logiques, elle dit ça :

[p][ >( p p ) ]

Ouais ce truc est une vérité vraie, donc tu peux l'introduire quand tu veux. En l'occurrence c'est si courant qu'on se contente d'écrire HYP, tout en majuscules. Parce que c'est une hypothèse et des hypothèses on va en faire à la pelle.

Cela dit, l'hypothèse c'est puissant. Pourquoi ? Parce que :

[p][ >( p T ) ]

Il y a une autre manière de l'écrire mais qui m'obligerait à faire un détour des enfers donc je vous laisse simplement vérifier que ça c'est toujours vrai (T signifie "vrai", ça vaut 1) et je vous l'explique : l'hypothèse dit que "on fait comme si p était vrai", ça veut dire qu'au sein de l'hypothèse "p" équivaut à une vérité absolue du type l'eau ça mouille et tout ça.

Donc, à la place de "T" on peut mettre n'importe quelle vérité vraie. Du genre... une seconde hypothèse ?

1 >( p p )          HYP
2 >( p >( q q )) HYP

Et on peut faire ça des dizaines de fois. Les hypothèses s'imbriquent les unes à l'intérieur des autres, ce que j'appelle personnellement un "contexte hypothétique" pour des raisons qui échappent à la logique donc appelez ça juste "une saleté d'équation" si ça vous chante, je ne vous en voudrai pas.

Et vous devriez commencer à comprendre pourquoi je mets les hypothèses en gras, ça peut vite devenir illisible.

À noter que cette règle est encore plus puissante, parce qu'elle permet de faire :

1 >( p p )          HYP
2 >( q >( p p ))  HYP

Ouais, l'hypothèse "q" est aussi une hypothèse, elle peut faire la même chose que "p" donc oui, messieurs les logiciens, dans ce système on peut introduire une hypothèse à gauche ou à droite, selon l'humeur. Ça ne vous semble rien vous autres mais ce truc sauve des chatons.

Pourquoi ?

Parce que ~i.

2.2. L'introduction de la négation

Je ne sais pas pourquoi mais "~" m'a toujours fait penser à de la pub' pour les cigarettes. Inexplicable. Anyway non, ce n'est pas un chameau, c'est le symbole de la "négation", le "ne... pas..." et on va donc apprendre à en faire apparaître.

1 >( p ^( q ~(q) ) )

L'expression en ligne 1 est une contradiction. On a fait deux hypothèses contradictoires et constaté, avec la conjonction ^( - - ), que ça faisait un smiley déprimant. Plus sérieusement, là on a abouti à un résultat qui permet de dire tout et son contraire, et même si techniquement la ligne 1 est toujours vraie, bah l'expression à droite elle elle ne l'est pas.

Quand on arrive à un tel cas, cela signifie qu'une de nos hypothèses est fausse.

La question c'est laquelle.

La logique te dit que c'est l'hypothèse dominante. Bon pas la logique classique mais on verra vite que ça importe peu. Pour le moment, et par défaut, la règle dit de prendre l'hypothèse dominante et de lui faire "t'as voulu contradictorer ? Va contradictire sur la Lune !"

1 >( p q )
2 >( p ~(q) )
3 ~(p)          1,2, ~i

Vous avez fait une hypothèse, elle vous a fait conclure (lignes 1 et 2) à une contradiction, donc en ligne 3 vous pouvez rigoureusement conclure que "p" c'est du foutage de gueule.

Et oui, on est logique, ici c'est le principe du tiers exclu, c'est tout noir ou tout blanc, sans nuance :

[p][ ≡( p ~(~(p)) ) ]

Si vous niez "p", ça donne "~(p)". Mais si vous niez "~(p)", vous retombez sur "p". C'est toujours vrai, nécessairement vrai, indiscutablement vrai et c'est à ça que sert la logique.

Mais là vous vous dites... j'espère... "Attends ça veut dire que si je fais l'hypothèse que Twilight est une bille, que j'arrive à une contradiction, ça prouve sans conteste que dans tous les mondes possibles, même ceux où Twilight n'existe pas, elle est la meilleure ponette ?"

Euh... non ? >( p q ) n'était pas vrai au départ, pour pouvoir y arriver il t'a fallu faire un tas d'autres hypothèses derrière qu'on ne montre pas. Ta contradiction ne vaut qu'à l'intérieur de ces hypothèses, c'est la "portée", la limite de la vérité que tu établis. Avec suffisamment d'hypothèses et de mauvaise foi (patapé humour !), tu peux parfaitement démontrer que Sombra est génial.

3. Le MAIS

On a introduit deux règles jusqu'ici, il y en a un paquet d'autres qu'on inscrit à la création du connecteur. Car oui, notre logique permet de créer des connecteurs.

Par exemple le "mais".

En logique classique, le "mais" est réputé non-logique. Quand tu argumentes avec un "mais", tu as déjà quitté les rivages de la raison, tu parles de trucs insensés, c'est fini. Je dois rajouter du sarcasme ? Dans notre logique à nous, rien ne nous empêche de créer un connecteur MAIS( ).

Et on va en avoir besoin :

1) Twilight hésitait. Starswirl avait raison, mais si elle le soutenait elle allait perdre ses amies. Pire encore, elle risquait de perdre Dash ! Mais, se dit-elle, il avait raison !

Que se passe-t-il quand quelqu'un dit "mais" ? C'est un peu mon boulot de linguiste que de répondre à des questions du genre et c'est en fait un boulot que j'ai fait. Avant de disposer de l'outil logique avec lequel je vous bassine depuis cinq articles, la réponse en gros c'était :

mais( p q ) = ( p ET q ) et euh NON-r

On "sentait" que "mais" impliquait que les deux choses dites, que "Starswirl a raison" et que "si Twilight blablabla...", étaient vraies. À cela, on "sentait" également que "mais" sous-entendait une troisième variable, "r", que la partie qui suit, "si Twilight blablabla...", viserait à nier.

Nous, nous dirons que :

[q][ ≡(MAIS(q)[pr][ >(>(rp)>(q>(r~(q)))) ]) ]

Ce qui nous donne un connecteur MAIS( - ) avec une seule variable, et une définition barbare à droite qui dit que si on a >( r p ) alors on peut obtenir >( q >( r ~(q) ) ). Oui c'est un casse-tête chinois mais, surprenamment, ça marche.

1 Starswirl avait raison...
1 >( p p )
2 Starswirl avait raison, mais...
2 >( MAIS(q) >( p MAIS(q) ))
3 Starswirl avait raison, mais si elle le soutenait...
3 >( MAIS(>( q r )) >( p MAIS(>( q r )) ))
4 Starswirl avait raison, mais si elle le soutenait elle allait perdre ses amies.
4 idem

Jusque-là on a simplement regardé Twilight introduire des hypothèses. Que Starswirl a raison. Que si elle le soutient elle perd ses amies. On a réécrit le texte en langage logique. Rien ne nous empêche de continuer et de finir la paraphrase, hein :

5 ...
6 Starswirl avair raison, mais... mais il avait raison !
6 >( MAIS(p) >( MAIS(>( q s )) >( t >( MAIS(>( q r )) >( p MAIS(p) )))))

J'ai mis "t" pour "pire encore" au sens de "c'est pire" mais là il y a toute une histoire d'anaphore et puis flemme quoi... Là on s'est contenté d'écrire le texte tel qu'il "est", le texte pour lui-même, ce que nous dit Twilight. On pourrait l'écrire autrement, il y a un tas de nuances et ce n'est pas ce qui m'intéresse.

Moi, ce qui m'intéresse, c'est la manière dont le LECTEUR lit le texte.

Par exemple, aux lignes 2 et 3, la seule différence est le remplacement de la variable "q" par ">( q r )". Pourquoi ? Parce qu'au stade de "mais", on n'a aucune idée de ce qu'est cette variable, seulement que grammaticalement un truc doit suivre "mais". Même en ligne 4, on ne sait toujours pas ce qu'est "r", on sait juste que quand il y a un "si", à moins de signifier "tellement", alors il faut que quelque chose suive. Le langage aménage de telles places vides qui attendent d'être remplies, définies.

Maintenant, une fois qu'on en est à la ligne 4, est-ce qu'on reste passif ?

Non.

Le lecteur interprète le texte. Et ici en l'occurrence le texte lui dit : "regarde, j'ai mis un 'mais', fais ton boulot". Et le "mais" dit au lecteur ce qu'il doit faire.

5 >( MAIS(...) >( p >( s s )))
6 >( MAIS(...) >( p >( s p )))
7 >( MAIS(...) >( p >( ... >( s ~(...) ) ) )))

En ligne 5, on a introduit l'hypothèse "s". On ne sait pas ce que c'est, on s'en fout un peu. Ce qui nous importe est que cette hypothèse "s" doit permettre de conclure "p". Ce qui est facile : "p" est déjà une hypothèse. On obtient donc la ligne 6 qui, parce que le "MAIS" le rend possible, nous donne la ligne 7. On a fait une élimination du MAIS.

Le résultat ? Une contradiction. On a forcé le lecteur à faire l'hypothèse "..." et, en même temps, à conclure, puisqu'il a également fait l'hypothèse "s", que ~(...).

Comment on résout la contradiction ? Par l'introduction d'une négation. Quelle est l'hypothèse dominante ? ... okay c'est MAIS(...) et vous pourriez la supprimer, mais vous vous retrouvez à nier le texte. C'est très coûteux. Dans les faits on travaille "à l'intérieur" de l'hypothèse, au niveau de "s". C'est donc en fait "s" l'hypothèse dominante. Et c'est donc elle qui trinque :

8 >( MAIS(...) >( p >( q ~(s) )))

Vous pouvez reprendre la lecture tranquille : avec ce contexte (ces trois hypothèses) vous retrouverez toujours ~(s), c'est sous-entendu. Et c'est ça un sous-entendu dans un texte. Une variable que le texte vous pousse à ajouter par vous-même.

En l'occurrence si on continue la lecture :

9 ...
10 ... mais il avait raison !
10 >( MAIS(p) >( ... >( p ~(~(s)) )...))

Le texte vous pousse d'abord à nier le sous-entendu, puis à nier cette négation (c'est-à-dire à affirmer le sous-entendu, tiers exclu, tout ça).

4. Le sous-entendu

Ce qui m'amène à faire deux remarques.

A) Le contexte

Quand je parle de contexte, dans un texte, je ne parle pas de ce qui est écrit. Je parle de la série d'hypothèses que le texte demande au lecteur de faire pour pouvoir le lire.

B) L'implicite

Ou sous-entendu, c'est ce dont je parlais dans mon article sur la pertinence. Tout le contexte n'est pas noir sur blanc devant les yeux, il y a de l'information que le texte attend du lecteur mais que le lecteur va apporter de lui-même. Le "mais" en est l'exemple par excellence.

Quand Twilight dit "mais si elle le soutenait..." qu'est-ce qu'elle sous-entend ?

Le "mais" fait faire une hypothèse encore complètement inconnue, une sorte de place vide à définir. Tout ce qu'on sait de cette hypothèse, c'est que : 1) elle n'est pas contradictoire avec "p" et 2) elle est contradictoire avec "q". Ce "q" c'est "si Twilight le soutient alors elle perd ses amies". Qu'est-ce qui est contradictoire avec ça ?

Eh bien en fait il y a tout un raisonnement que je résumerais par la contraposée. C'est une règle qui n'est pas liée à un connecteur et qui dit (promis c'est la dernière fois) :

[pq][ ≡( >( p q ) >( ~(q) ~(p) ) ) ]

Cette règle, à la base de quelques sophismes, signifie donc que si elle ne veut pas perdre ses amies, Twilight ne doit pas soutenir Starswirl. Vu qu'autrement elle les perd. C'te logique. Et comme dans sa tête "~(q)", aka "elle ne veut pas perdre ses amies", est vrai, alors "~(p)" l'est également.

Donc quand elle dit "Si je le soutiens je les paume" elle veut dire "je ne vais pas le soutenir". Ce qui pose la question : pourquoi elle le soutiendrait ? Et la réponse est évidemment : "parce qu'il a raison". L'hypothèse que le "mais" dit de créer est donc contrainte, et on peut en définir sa valeur grâce à ça :

s =df "Si Starswirl a raison alors Twilight le soutient."

C'est la règle qu'on avait vue dans le second article (sur les valeurs de vérité) et c'est tout l'enjeu du passage, savoir si elle va le soutenir, aka suivre la règle.

Ce qui signifie que quand je parle du contexte, cela comprend TOUTES les hypothèses implicites, sous-entendues, ajoutées par le lecteur pour l'interpréter, souvent à la demande (volontaire ou non) du texte lui-même.

5. Conclusion

Un texte est une série d'hypothèses. Chaque "phrase" demande au lecteur de faire "comme si" c'était vrai. Et si le lecteur fait "c'est nawak" il brise le contrat de lecture.

C'est la différence entre "invraisemblance" -- où bah non désolé j'arrive pas à faire comme si une chute de trois cents mètres était pas mortelle -- et "incohérence".

Dans le second cas, l'incohérence est produite par le contexte, par ce que dit le texte ou ce qu'il fait déduire, par sa logique interne. Parce qu'il a, là j'espère que c'est clair, vraiment sa logique interne.

1) Twilight hésitait. Starswirl avait raison, mais si elle le soutenait elle allait perdre ses amies. Pire encore, elle risquait de perdre Dash ! Mais, se dit-elle, il avait raison !

2) Soudain Pinkie Pie entra lui demander si elle voulait jouer au ballon. Twilight répondit joyeusement que oui et trotta dehors, toute contente.

Ce que voulait dire l'auteur, c'est que Twilight était soulagée de pouvoir se changer les idées et venait de sauter sur l'occasion pour oublier tous ses problèmes. Cette... "invraisemblance"... n'en est pas une. C'est un comportement tout au plus surprenant mais parfaitement possible.

Le problème est que le texte ne le dit pas. Ça n'apparaît pas dans sa logique interne. Et en l'absence de cette information, le texte devient incohérent. On nous disait "regarde c'est grave c'est la fin du monde" et l'instant d'après "way nan c'tait rien !"

Comment résoudre ce problème si courant ?

3a) Soudain Pinkie Pie entra lui demander si elle voulait jouer au ballon. Twilight sauta sur l'occasion pour oublier toutes ses préoccupations, répondit joyeusement que oui et trotta dehors, toute contente.

Ça les auteurs ont tendance à le faire beaucoup : dire les choses noir sur blanc. Ça évite au lecteur de trop cogiter, c'est clair, sans ambiguïté et ça permet aussi de faire des monologues intérieurs sur deux trois paragraphes quand c'est pas des pages...

Ou alors :

3b) Soudain Pinkie Pie entra lui demander si elle voulait jouer au ballon. Twilight sauta sur Pinkie pour lui crier : "oui !" puis trotta joyeusement dehors.

Le texte vous met face à une nouvelle "invraisemblance", c'est un drôle de comportement... et c'est une contradiction pour vous forcer à déduire ce qui la motive. C'est donc un texte qui sous-entend, qui dépend du lecteur et qui, en quelques détails, grâce à sa logique interne, permet de résumer des pavés de pensées sur la pluie et les petites fleurs et autres "je suis une princesse et oh Celestia je sais pas choisir quelle robe mettre aujourd'hui".

On peut se reposer sur le lecteur pour lui faire déduire un tas de trucs, jusqu'à ce qu'il renvoie un gros "je vois pas ce que tu veux dire" qui, là, est un problème de pertinence :

3c) Soudain Pinkie Pie était rose.

Beuh... oui ? Quel rapport avec quoi que ce soit ? Quelle est la variable, le connecteur ? Je fais quoi là ?!

Alors oui, on pourrait se passer de la logique pour parler de toutes ces histoires, mais là peu à peu on entre vraiment dans la logique du texte, au sens fort, et on va vraiment commencer à parler de choses concrètes. Toujours en vue d'apprendre le langage logique, hein, les articles sur les questions d'écriture sont à part, mais tout doucement on va découvrir jusqu'à quel point nos textes sont en vérité incroyablement... logiques.

Mais je comprendrais aussi parfaitement que vous préfériez simplement retourner, fanficers,
à vos plumes !