La logique (3) -- Les connecteurs Aller aux commentaires

08 novembre 2014

Hi'.

Je suis obligé de commencer cet article par une image, et oui ça va être un râlage gratuit mais qui explique pourquoi, au-delà de la littérature, j'ai un besoin viscéral de parler de logique. Et 'pis vous êtes majoritairement français donc la politique suisse vous en avez ranabattre.

La jument colorée à droite c'est "Helvetia", moi je voulais l'appeler Edelweiss mais les gens ont pas voulu. Pour les besoins de la caricature, Helvetia représente ici la Constitution suisse. La Constitution suisse a un article intéressant (Titre 1, article 5, alinéa 4) qui dit que : "La Confédération et les cantons respectent le droit international." Et donc, pour défendre la Constitution, un parti suisse veut que la Constitution prime sur le droit international.

Au-delà de mon avis politique bien tranché sur la question, je vous invite à considérer la logique de la chose. On veut pouvoir ne pas respecter le droit international pour défendre une Constitution... qui dit de respecter le droit international. Vous savez comment faire désormais :

p =df "On respecte la Constitution"
q =df "On défend le droit international"

On défend la Constitution.
Si on défend la Constitution alors on respecte le droit international.
Donc on défend le droit international.

D'où vient l'erreur ? Eh bien, nos braves défenseurs de la Constitution ont décidé de la règle suivante :

On défend le droit international.
Si on défend le droit international, alors on ne défend pas la Constitution.
Donc on ne défend pas la Constitution.

Où que j'ai déjà vu cette logique, moi... ah oui, Twilight, dans l'article précédent ! La conséquence nous plaît pas donc buck la cause, et j'aurai enfin l'occasion de vous démontrer à quel point c'est logiquement absurde, au sens fort du terme, parce qu'aujourd'hui on va parler des connecteurs.

1. Définition

Eh. Les logiciens. J'ai dit définition. Pour les connecteurs. Ah ah. Drôle.

Ahem.

Si vous vous rappelez du tout premier article (sur les variables), les variables sont les objets qu'on va manipuler et les connecteurs... sont les outils qui vont nous permettre de les manipuler. En l'occurrence on en a déjà utilisé un, abondamment. Mais si, dans le second article (sur la valeur de vérité), et encore ci-dessus avec mon exemple politique tendancieux et mon dessin moche. Je parle du "si... alors..." qui permet de connecter la première ligne à la troisième, l'hypothèse à la conclusion. Connecter, connecteur, c'est bon, on a compris.

On a déjà fait des variables de connecteurs plus tôt mais c'est pas super intéressant pour nous alors tous les connecteurs qu'on utilisera désormais seront des constantes. Ce qui signifie qu'on sait ce qu'ils font. Un peu comme l'addition, on sait ce que ça fait... euh... ouais. On a appris par coeur tous les symboles mathématiques et comme on est en mode "tout tellement simple que c'en est insultant" on va devoir faire du par coeur également les symboles logiques.

Alors.

Pour définir un connecteur, il va nous falloir trois choses : a) son symbole, b) ses règles et c) sa valeur de vérité. Merci de ne pas faire de blagues avec (b), on vaut mieux que ça. En fait vous m'énervez, on ne va même pas parler de (b). Pas encore du moins. On attendra un prochain article pour ça. Pour le moment on va déjà se dépatouiller avec les symboles et la valeurs de vérité.

En même temps ces deux choses vous les connaissez. Bah si. Les variables. Genre "p", c'est un symbole, vous savez (ahem) que c'est une variable, vous avez reconnu le symbole, et vous pouvez même me donner sa valeur de vérité. C'est "vrai ou faux", qu'on écrira "1/0" parce qu'on aime les chiffres. Ou parce que c'est plus court. Aussi. Donc la définition de la variable, c'est ça :

p = 1/0

Vala', désormais quand vous verrez un "p" dans un texte, vous saurez que c'est une variable et vous le saurez parce que sa valeur de vérité est totalement inconnue, il peut valoir n'importe quoi.

Maintenant si on reprend notre "si... alors..." qui permet de mettre les capitales en bouteille, à quoi ressemble sa définition ? Eh ben à ce stade, c'est ça :

>( - - ) = 1011

Très bien stop, on va décoder.

À gauche on a le symbole. Okay c'est plus compliqué qu'une lettre mais vous allez vous en sortir. Pour le moment regardez à droite, du côté de la valeur de vérité. On a un bizarre de truc, là, le "1011" qui pour vous ne signifie absolument rien. On va se concentrer dessus et ensuite on reviendra sur le sac de noeuds du côté gauche de la définition.

Comment on connaît la valeur de vérité d'un connecteur ? Je veux dire, à part en l'apprenant par coeur ? Eh bien, déjà, on notera que c'est une constante : la valeur on la connaît. Le problème c'est qu'il n'y a pas qu'une valeur, il y en a quatre. "1", "0", "1" encore et enfin "1". Quatre valeurs de vérité pour un seul connecteur, y a un truc pas logique...

Mais si on reprend l'exemple politique totalement irrespectueux du départ :

1) Si on défend la Constitution alors on respecte le droit international.

Je suis vraiment désolé mais moi je vais écrire "Si p alors q", c'est bien plus rapide à taper et je suis flemmard. Il faudra de toute façon un jour faire le pas alors autant le faire aujourd'hui.

Question : est-ce que l'exemple (1) est vrai ? C'est quoi la valeur de vérité de l'ensemble ?

Eh bien, déjà, ça va dépendre de la valeur de vérité de chaque variable. Là des variables y en a deux, "p" et "q". Donc selon qu'elles sont vraies ou fausses, la valeur de l'ensemble peut changer. "p" peut valoir 1 ou 0, ça fait déjà deux valeurs de vérité possibles pour l'ensemble de l'exemple (1). Tu rajoutes à ça les deux valeurs de vérité de "q" (aussi 1 et 0 pour ceux qui suivent) et tu obtiens... quatre cas possibles. Quatre... valeurs de vérité... attends ça rappelle un tr- ah oui la vlaeur de vérité du connecteur !

Le connecteur "si... alors..." porte sur deux variables. Cela signifie que la valeur de vérité du connecteur dépend des valeurs de vérité des variables sur lesqu- la phrase est trop longue c'est ça ? Quand une variable connectée par le connecteur change, le connecteur change également. Le seul changement possible c'est 1 ou 0 donc "1011" liste toutes les variations possibles à l'intérieur du connecteur. Et comme c'est toujours difficile à comprendre, on va passer à la pratique :

1a) Si 1 alors 1
1b) Si 1 alors 0
1c) Si 0 alors 1
1d) Si 0 alors 0

En (1a), les deux variables sont vraies. En (1c), la première est fausse, la seconde vraie. Alors maintenant, que vaut l'ensemble pour chaque cas ? La réponse est dans la valeur du "Si... alors..." : 1011.

1a) "Si 1 alors 1" = 1
1b) "Si 1 alors 0" = 0
1c) "Si 0 alors 1" = 1
1d) "Si 0 alors 0" = 1

Cela signfie que "Si... alors" sera toujours vrai si la première variable est fausse. "Si le Titanic n'avait pas coulé..." alors tout est possible. Bah oui, le Titanic a coulé, on a aucune idée de ce qui serait arrivé autrement. Là je suis obligé d'avouer qu'en fait c'est une convention, la véritable valeur de vérité vraie on ne la connaît pas, mais on a décrété que c'était 1011 et ça nous arrange donc le seul cas où ce connecteur donne un résultat faux, c'est quand la première variable est vrai, "Si le Titanic a coulé..." et que la seconde variable est fausse, "... alors Vuld Edone dessine bien."

On peut du coup revenir au syllogisme : si l'hypothèse est fausse, la règle associée sera toujours vraie. Le problème vient donc de l'hypothèse, pas de la règle. Si l'hypothèse est vraie, la règle associée ne sera fausse que si la conclusion est fausse. Le problème vient donc de la règle, pas de l'hypothèse. Donc si la conclusion est fausse, c'est soit la règle, soit l'hypothèse, mais jamais les deux.

Je ronronne secrètement devant cette rigueur.

Désolé d'insister donc mais "1011" signifie "ce n'est faux que si la première variable est vraie et que la seconde est fausse". Cette suite de chiffre se décode donc ainsi : "voici le résultat pour la premier cas de figure... pour le second cas de figure... etc..." sachant que l'ordre des cas de figure est toujours le même. Vous vous y ferez.

Okay alors à ce stade je sais, je sais, vous n'avez aucune pratique et donc vous ne pouvez pas vraiment lire la valeur de vérité d'un connecteur. Rassurez-vous, vous allez avoir l'occasion de vous exercer au travers de l'article. Mais là vous devez déjà être gavé d'en parler donc on va laisser ça de côté et revenir sur le symbole, le ">( - - )" qui fait peur à gauche de la définition.

Pour faire simple :
">" C'est le symbole du connecteur
"( - - )" Ce sont les variables sur lesquelles "porte" le connecteur

Donc on reprend notre exemple (1), "Si p alors q" (ou remettez les phrases si vraiment c'est trop traumatisant) et on le réécrit mais avec le symbole cette fois :

2) >( p q )
2a) >( On défend la Constitution   On défend le droit international )

Voilà ! Je vous ai mis les phrases alors lâchez-moi !

Et je sais, pour les malheureux qui ont eu à subir la logique classique, en général on met le ">" au milieu, pas à gauche. Nous on va le mettre à gauche. Vos gueules vous comprendrez pourquoi. Et quand vous aurez compris pourquoi vous vous demanderez comment on a jamais pu imaginer le faire autrement.

Maintenant si je vous écris :

3) ≡( p q )
3a) ≡( On défend la Constitution   On défend le droit international)

Est-ce que c'est toujours le même connecteur ? Non ! Vous avez remarqué que le symbole à gauche n'est plus ">" mais "≡". Donc pour savoir de quel connecteur on parle on regarde à gauche de la parenthèse. Et pour savoir quelles variables sont concernées par ce connecteur on regarde l'intérieur de la parenthèse. On pour gagner de la place on utilise des lettres pour les variables, parce que grmf...

2. L'implication

Maintenant qu'on ne sait pas encore mais bientôt on saura lire la définition d'un connecteur, il est temps de se faire la liste par coeur, et on va commencer, bien sûr, par le "Si... alors..." également appelé ">( - - )" avec amour. Donc :

Implication :
>( - - ) = 1011
"Si... alors..."

J'ai déjà eu à apprendre du vocabulaire allemand durant le lycée, je sais à quel point c'est pénible donc ne vous inquiétez pas, lisez juste, comprenez ce que vous comprenez et laissez tomber le reste. Vous vous soucierez d'apprendre quand les prochains articles vous donneront une raison de le faire. Là, essayez juste de comprendre.

L'implication est donc le fameux "si... alors..." nécessaire au syllogisme, et qui est censé représenter la relation de cause à conséquence. "Si Rarity tue Tom alors Tom est mort", ce qu'il y a à gauche cause ce qu'il y a à droite. Si ce qui est à gauche est vrai alors ce qui est à droite le devient aussi.

3. L'équivalence

L'implication c'est chouette, ça signifie que si on a une variable on peut en obtenir une seconde. Ça fait avancer le schmilblick. Le problème c'est que ça ne va que dans un sens. Bah ouais... si la variable de droite est vraie, ça ne nous dit absolument rien sur la variable de gauche... ou comme je l'avais dit à propos des sophismes : "Si la conclusion est vraie, ça ne veut pas dire que l'hypothèse l'est aussi. Il peut y avoir d'autres raisons." C'est un peu le coup des tigres en papier :

"Si mes trucs en papier font fuir les tigres alors il n'y a pas de tigres."

La conclusion est vraie, il n'y a pas de tigre... ou alors vous avez un problème et commencez à courir... mais l'hypothèse est foireuse, les trucs en papier ne font pas fuir les tigres. C'est juste que les tigres ont mieux à faire que de vous regarder lire des articles sur la logique.

Le sophisme consiste en fait, en termes logiques, à confondre l'implication et l'équivalence.

Équivalence :
≡( - - ) = 1001
"... équivaut à..."

Tout de suite, on doit remarquer deux choses. La première, c'est que ce connecteur porte également sur deux variables. La seconde, c'est que sa valeur de vérité est très, très, très, trèèèèès proche de celle de l'implication. La seule différence c'est que désormais la variable de droite nous permet d'obtenir la variable de gauche. En cas d'équivalence, l'absence de tigres signifie que les trucs en papier les font effectivement fuir.

Pour le vérifier :

3b) ≡( 1 1 ) = 1
3c) ≡( 1 0 ) = 0
3d) ≡( 0 1 ) = 0
3e) ≡( 0 0 ) = 1

Si les deux valeurs de vérité (donc les deux variables) ne sont pas identiques, le connecteur est faux. Quand une variable est vraie, les deux le sont. Quand une variable est fausse, les deux le sont. Vous me dites si je radote.

4. La négation

J'aurai un dernier connecteur à deux variables à vous montrer mais pour le moment, question de bien comprendre comment ça fonctionne, on va voir un connecteur... à une seule variable ! Ouais ouais ça existe. En fait vous n'avez pas idée de ce qui peut exister mais simple, simple... sinon on est encore là demain. Et techniquement c'est demain. D'ailleurs c'est quoi cette lumière à ma fen- la suite !

La négation, donc, intuitivement vous savez ce que c'est, mais logiquement c'est ça :

Négation :
~( - ) = 01
"non-..."

À droite de la définition on est passé de quatre à deux chiffres, c'est cool. C'est aussi dû au fait qu'il n'y a plus qu'un tiret dans la parenthèse, signe que le connecteur ne porte que sur une seule variable. Du coup... c'est plus vraiment un connecteur... mais on a décidé d'appeler ça un connecteur donc on va rester cohérents.

Cela dit, vous ne savez déjà pas lire les valeurs de vérité à quatre chiffres alors à deux chiffres c'est même pas la p- qu'est-ce que je raconte moi je vous le fais tout de suite :

4a) ~( 1 ) = 0
4b) ~( 0 ) = 1

Si la variable est vraie, la négation la rend fausse. Si la variable est fausse, la négation la rend vraie. Bah oui, c'est une négation. En gros rappelez-vous, on a défini "p" par "1/0". Si on définissait un connecteur qui ne porte que sur une variable et qui ne fait rien, ce connecteur vaudrait alors "10" : vrai si la variable est vraie, faux si la variable est fausse. Un connecteur change donc les valeurs de vérité.

La même logique s'applique pour les connecteurs à deux variables : c'est juste qu'on a deux fois plus de variables.

5. La conjonction

Okay je vais expédier celle-là, elle sert quasiment à rien mais :

Conjonction :
^( - - ) = 1000
"... et ..."

Bah c'est le "et" qu'on connaît et qu'on voit partout et qu'on est tellement habitué à l'utiliser sans réfléchir ni regarder. Son symbole on s'en fiche, sa valeur c'est "1000", ce qui signifie "ce n'est vrai que si les deux variables sont vraies", ce qui est un peu le but d'une conjonction.

5) "Je ne viens que si Sombra est cool ET que Chrysalis est un mec."

Autant dire qu'il risque pas de venir mais ce qui nous intéresse c'est qu'il veut que les deux conditions soient remplies. Si l'une manque c'est mort, tout est annulé.

Petite anecdote pour votre culture, la logique classique part du principe que le nombre de connecteurs est limité. En gros il n'y a que quatre connecteurs à une variables (11, 10, 01, 00) et seize connecteurs à deux variables (1111, 1110, etc...) couvrant toutes les combinaisons possibles. Bien sûr nous on est en train d'apprendre une logique kidéchir donc ces foutaises nous font rire mais dans le principe c'est ça. Il y a un connecteur pour le cas où "une des deux variables peut être vraie" (la disjonction) et même un connecteur pour le cas où "les deux connecteurs ne peuvent pas être vrais en même temps" (disjonction exclusive)... Mais on s'en fout.

6. Matrices

Vous avez désormais des variables, des valeurs de vérité et des connecteurs. Bon, quelques connecteurs. Vous n'êtes pas encore des dieux vivants mais c'est pas loin de ça.

Pour rappel on a donc :

Négation : ~( - ) = 01
Implication : >( - - ) = 1011
Équivalence : ≡( - - ) = 1001
Conjonction : ^( - - ) = 1000

Et comme je suis un petit sadique je vais vous en rajouter deux :

Vrai : T = 1
Faux : F = 0

Ouais ce sont des connecteurs. À zéro variable. Donc "T" vaudra toujours "vrai" et "F" vaudra toujours "faux". Pour le cas où vous n'aimez vraiment pas les 1 et les 0, vous pouvez désormais utiliser ça. Et oui, chez nous les connecteurs à 0 variable ça existe.

Mais bon, là on a des variables, des connecteurs, des valeurs de vérité... concrètement on en fait quoi ?

Concrètement vous pouvez désormais vous amuser à créer des tas de formules compliquées et surtout vous pouvez lire lesdites formules compliquées. En supposant que vous ayez appris les symboles par coeur. Forcément si on ne vous donne pas la définition... mais quel espèce de sadique roux ferait ça...

6) >( p q )

Vous voyez ça, vous êtes censés lire "Si p alors q" (et comme vous vous rappelez de l'exemple (2a) vous avez même remplacé les variables, ce luxe...) c'était facile j'ai triché, on le refait :

7) ^( p q )

Okay moins évident, on lève les yeux, dans la liste le symbole " ^ " c'est la conjonction, ça se lit "et", donc : "p et q". Vous pouvez  même jouer au malin et dire que ça vaut 1000. Ça sert à rien mais vous pouvez. On tente plus difficile ?

8) >( p ~( p ) )

Mh. C'est bizarre. On a un connecteur... à l'intérieur d'un second connecteur. On a le droit de faire ça ? Évidemment que oui, répondront ceux qui se rappellent du premier article sur les variables : on peut remplacer "q" par ce qu'on veut, donc par un connecteur également. Là j'ai remplacé "q" par "~( p )" et vous ne pourrez rien pour m'en empêcher.

Comment ça se résout ? Comme ça :

8a) >( 10 01 )

On remplace donc "p" par sa valeur de vérité, "10", qui signifie "il vaut vrai ou faux". Et on remplace "~( p )" par "01", qui signifie "il vaut faux ou vrai". Yup, on "fixe" les cas de figure de "p" et tous les connecteurs se lisent par rapport à ces cas de figure. Ici "10" est inversé. Grâce à ça on sait que quand la première variable, "p", est vraie, la seconde variable, ~( p ), est fausse... c'est un peu sa définition. Idem quand "p" est fausse, bref : on ressort la définition de l'implication, "1011", et on en déduit... "01".

Si vous avez compris comment... vous m'impressionnez. Moi à votre place je me gratterais le crâne à essayer de comprendre.

Si vous n'avez pas compris : on a deux cas de figure. Dans le premier cas, "p" vaut 1 et "~( p )" vaut 0. C'est le second cas de figure de notre définition, "1011". Le second cas, nous dit la définition, vaut "0". Maintenant on revient à la formule : "p" vaut désormais 0 et sa négation 1. C'est le troisième cas de figure de notre définition, "1011". Le troisième cas, nous dit la définition, vaut "1". Résultat : 01. On a couvert toutes les combinaisons possibles, il y en a deux, et on donne le résultat pour chacune d'elles.

Vous verrez, petit à petit, à force d'en lire vous finirez par comprendre la logique derrière ces valeurs de vérité bizarres.

Là, mauvaise nouvelle, je me dois de compliquer encore. Mais vous avez le droit de décrocher à ce stade, personne ne vous en voudra. C'est juste que j'ai une dernière chose à vous dire sur les connecteurs :

9) >( p ^( q p ) )

Même logique que pour (8), on a un connecteur dans un autre connecteur. Même logique que pour (8), on a simplement remplacé "q" par " ^( q p ) ". Même logique que pour (8), on va passer en revue tous les cas de figure pour définir la valeur de vérité de (9).

Et là ce sont des formules encore assez simples, avec juste deux connecteurs. Avec la pratique vous manipulerez des formules qui peuvent aligner facilement dix connecteurs ou plus. Mais pour le moment, rien qu'un connecteur c'est galère et deux vous êtes perdus, donc on reprend et on essaie d'y aller méthodiquement.

Déjà, on a combien de cas de figure ? On a deux variables, chacune a deux valeurs de vérité possible (1 ou 0), ça nous donne... quatre valeurs de vérité. Yup, le nombre de cas de figure dépend du nombre de variables dans la formule. Là on a juste deux variables, et on fera en sorte de ne jamais monter au-dessus, mais le jour où vous travaillez sur le connecteur "mais" et qu'il y a trois variables je vous jure que c'est pas drôle.

Maintenant, comme il y a quatre cas de figure on va tout devoir lire avec des valeurs à quatre chiffres. Y compris nos variables. Donc "p" qui valait 10 on va le réécrire... 1100. On a juste dédoublé chaque chiffre. Et pour "q" qui valait... aussi 10, on va le réécrire... 1010. Wat ? Bah si on l'avait aussi réécrit en 1100, "q" aurait été équivalent à "p". On veut donc leur donner des valeurs différentes pour couvrir, comme dit, tous les cas de figure :

p q
1 1
1 0
0 1
0 0

Je vais être franc. Il est 8h du mat', j'ai pas dormi, je suis encore agacé par je-vais-pas-polémiquer et je sais que ce point 6 est abominablement compliqué pour vous. Mais j'ai envie de dire qu'ici, "tout s'éclaire". Et je sais que vous m'en voulez à mort de dire ça mais regardez bien: on a quatre lignes de chiffres et chaque ligne nous donne une combinaison différente : "11", "10", "01" et "00". En attribuant "1100" à p et "1010" à q, on a donc réussi à couvrir tous les cas de figure, selon la valeur de vérité de p et q.

Mais ces deux colonnes de quatre chiffres devraient aussi, si vous êtes particulièrement réceptifs, vous rappeler les valeurs de vérité de nos connecteurs. Je vous le refais :

p q     >( p q )
1 1     1
1 0     0
0 1     1
0 0     1

Et là, enfin, enfin, ça devient lisible. Quand on écrit les valeurs de vérité, on le fait comme ça : on écrit tous les cas de figure possible en autant de lignes sous la formule, puis on donne la valeur de vérité, pour chaque cas de figure, des variables et de là, des connecteurs (notez qu'on aligne alors la valeur de vérité pile sous le symbole du connecteur). À la première ligne les deux variables sont vraies et donc ">" est vrai. À la seconde ligne... et ainsi de suite.

Bien sûr ça prend une place incroyable et c'est facilement décalé selon la police utilisée mais ça rend les choses teeeeeellement plus claires. Même si je me doute que pour vous ça reste pas mal obscur.

7. Dominance

Et maintenant vous avez tous les outils pour lire (9) :

>( p ^( q p ) )
1  1 1  1  1
0  1 0  0  1
1  0 0  1  0
1  0 0  0  0

En espérant que la mise en page n'aura pas tout décalé pour vous : "p" vaut 1100, et le vaudra partout. "q" vaut 1010 et le vaudra partout aussi, même s'il n'apparaît qu'une fois. ^( q p ) vaut donc, vous pouvez tester si vous êtes courageux, 1000. Vu qu'il n'est vrai que quand p et q valent 1, donc les inverser dans les parenthèses n'a servi à rien. On a désormais "p" qui vaut 1100 en variable de gauche et " ^ " qui vaut 1000 en variable de droite. Là encore vous pouvez faire le calcul vous-même, reportez-vous à la définition de l'implication mais sinon croyez-moi sur parole, ">" vaut toujours 1011.

C'était pas drôle, on va s'en faire une compliquée :

10) >( p >( q ^( ~(q) >( q ~(p) ) ) )

On ne s'affole pas et on le fait dans l'ordre. L'ordre, c'est la "dominance", d'où le titre de cette ultime partie. Si vous êtes arrivés jusqu'ici déjà toutes mes excuses et ensuite, considérez ça comme un exercice que je vais faire à votre place, au prochain chapitre on fera une petite pause en causant du connecteur le plus compliqué de l'univers donc pantouflez et laissez-moi calculer la vérité à votre place.

10a) >( q ~(p) ) = >( 1010 0011 ) = 0111
10b) ^( ~(q) >( ... ) ) = ^( 0101 0111 ) = 0101
10c) >( p ^( ... ) ) = >( 1100 0101 ) = 0111

L'exemple (10) vaut donc 0111. Dit autrement, si les deux variables sont vraies en même temps, alors le résultat est faux.

Comment on a fait... eh bien on y est allé étape par étape. Par ordre de dominance. La "dominance" nous dit quel connecteur "domine" les autres. Ouais... ouais. En fait je ne sais pas si vous avez remarqué, mais dans toutes nos formules il y a toujours un connecteur tout tout tout à gauche de la formule, et tous le reste se trouve à l'intérieur de sa parenthèse. Ce connecteur, c'est le connecteur "dominant". Il porte sur l'ensemble de la formule (séparée en deux variables). À l'intérieur, chaque variable a à son tour son connecteur dominant, et ainsi de suite...

Donc ce qu'on a fait, c'est qu'on a démarré par le connecteur tout en bas de l'échelle (10a), en ignorant la négation parce que la négation je la fais de tête. J'ai donc isolé le plus petit connecteur, celui qui ne domine rien, puis j'ai remplacé ses variables par leurs valeurs de vérité et j'ai écrit le résultat pour chaque cas. J'ai obtenu 0111.

J'ai alors pris cette valeur et remonté d'un rang dans la dominance (10b). Une partie de la formule compliquée est déjà résolue (0111), je n'ai pas eu à m'en soucier et j'ai pu résoudre directement la valeur de vérité du connecteur dominant en (10b). Et idem en (10c), et ibidem s'il y avait encore eu d'autres connecteurs au-dessus. La dominance nous dit dans quel ordre calculer la formule pour obtenir sa valeur de vérité. Cette valeur de vérité correspond à la valeur de vérité du connecteur "dominant", le connecteur tout au-dessus ou, généralement, tout à gauche.

Mais résumons parce que là on est clairement dans un cas de tl;dr.

8. tl;dr

On a découvert une liste de connecteurs :

Négation : ~( - ) = 01
Implication : >( - - ) = 1011
Équivalence : ≡( - - ) = 1001
Conjonction : ^( - - ) = 1000

Je ne vous demande pas de les apprendre maintenant mais on va les utiliser jusqu'à l'écoeurement. Les trois premiers du moins.

On a aussi découvert comment les lire :

">" = symbole du connecteur
"( - - )" = variables sur lesquelles il porte
1011 = valeur de vérité du connecteur

On et on sait désormais que 1011 liste en fait le résultat de tous les cas de figure, selon la valeur de vérité des variables, c'est-à-dire selon si "p" vaut 1 ou 0 et si "q" vaut 1 ou 0 :

p q     >( p q )
1 1     1
1 0     0
0 1     1
0 0     1

Une fois qu'on a la valeur de vérité des variables, la définition du connecteur nous donne le résultat. Donc le connecteur, c'est un super-transformateur à valeurs de vérité.

Après bon, je veux bien faire un article entier par connecteur mais... en un sens c'est ce qu'on fera plus tard. Là je ne veux pas que vous appreniez les connecteurs par coeur ou que vous soyez soudainement et miraculeusement capables de lire des formules complexes comme si vous aviez fait ça toute votre vie. Je veux juste que vous compreniez le principe derrière.

Il y a des variables, elles ont des valeurs de vérité et les connecteurs vont permettre de modifier ces valeurs.

C'tout.

La prochaine fois on va donc, comme promis, découvrir le connecteur le plus compliqué jamais inventé par l'équinité (et l'humanité aussi dans son temps libre), celui qui alourdit de 50% à lui tout seul n'importe quelle formule mais qui est tellement fondamental qu'on en oublie carrément de le définir... et comme définir un connecteur ça prend pas long on en profitera pour faire une pause et revenir sur tout ce qu'on a appris, question que vous ayez le temps d'assimiler.

Donc on reste calme et on panique, on continue de se demander le rapport avec ses textes, on demande gentiment aux autres de l'appliquer à l'occasion sur des sujets d'actualité et bien sûr d'ici là on s'intéresse, fanficers,
à vos plumes !