La logique (1) -- Les variables Aller aux commentaires

31 octobre 2014

Hi'.

Aaaah de la logique ! Ah ! AH ! Panique ! Paniiiique !

Je sais, depuis un certain article qui a renforcé vos préjugés sur ce mot tant honni, vous vous méfiez. Vous êtes déjà en mode "how about no" et vous avez fait vos valises pour la planète "ranafiche" mais donnez-moi deux secondes pour vous convaincre de rester.

Cette fois juré, on va y aller pas à pas et on va faire en sorte que ce soit simple et accessible. Enfin... autant que d'habitude. Non mais bon ça reste signé par Vuld Edone, je suis moins là pour vous donner des réponses que pour vous faire vous poser des questions.

Bref.

Notre but n'est pas ici de comprendre à quoi peut servir la logique. Le but sera d'arriver à lire un "langage formel", vous savez, l'espèce d'elfique barbare fait de formules imbuvables... ouais, après une dizaine d'articles je compte vous balancer ce genre de formule et au lieu de "au secours, ça boit mon âme !" vous ferez "euh t'as mal placé une parenthèse. Là. T'es nul."

1 -- Isoler les variables

Les formules qui nous intéressent sont composées :
- de variables
- de connecteurs

Je sais que ça va en faire fuir plus d'un mais c'est contre mon ADN de ne pas vous le montrer, donc je vais vous balancer une formule complète (la définition de la négation) puis la même formule avec uniquement les variables, car oui, c'est ce qu'on va faire : ignorer tout le reste et faire comme si seules les variables existaient.

1a) [p][ ≡(~(p)≡(p[q][q])) ]
1b) p p p q q

En gros on a enlevé tous les signes bizarres pour ne conserver que les lettres. Rassurés ? Non ? Vous vous demandez toujours comment on est passé de (1a) à (1b) ? Je l'espère parce que c'est l'attitude normale à avoir. On va donc refaire la même chose mais cette fois au lieu d'une formule bizarrofreakazoïd on va utiliser un texte :

2a) "Le rapport des frontières était arrivé quelques minutes à peine après le retour du souverain. Après avoir appris l’évasion, il venait maintenant de prendre connaissance de la débâcle dans l’Empire de Cristal." (Acylius, Dernier Sortilège, ch.14)

2b) rapport frontières minutes retour souverain évasion souverain connaissance débâcle empire cristal

Ce qu'on vient de faire en (2) est identique à ce qui a été fait en (1). On a pris un texte, on a conservé uniquement les noms et viré tout le reste.

Dans la foulée on a une première définition de ce qu'est une variable.

Dans la grammaire scolaire, une phrase est une structure "Sujet - Verbe - Complément". En simplifiant, ça correspond à des noms (listés en 2a) sur lesquels les verbes vont agir. "Le chat" c'est juste un nom, mais "le chat mange" est une action et "le chat mange la souris" aussi. On a donc :
- des objets
- des verbes
Et oui on retrouve nos "variables" et "connecteurs". Et on ne va s'intéresser qu'aux variables. Ces variables, ce sont les objets sur lesquels on va agir, les objets qu'on va manipuler.

Mais.

2 -- Définir une variable

Ce sont des objets abstraits.

La liste en (2b) ce sont des objets concrets. Je vous dit "rapport" vous savez ce que c'est, les "frontières" ça vous parle, le "souverain" y en a qu'un. Tu entends le mot tu sais tout de suite de quoi on parle, c'est confortable et intellectuellement dangereux mais on parle de choses concrètes.

Maintenant si je dis "p" tu comprends... bah rien. Forcément, "p" est une variable, dans "variable" il y a "varier". Derrière ce "p" tu peux mettre n'importe quoi.

Le langage connaît ça aussi. Par exemple si je vous dis que ta mère est une [insérer mot tout fleur ici], vous pouvez littéralement insérer le mot qui vous chante. Et le bon mot était "alicorne", mais vous ne pouviez pas le savoir : c'était une variable. On réessaie ? "Je me mangerais bien [insérer nom commun]". Là encore, vous pouvez me faire manger n'importe quoi, du pain, un éclair au chocolat, un rouleau compresseur... la langue française permet d'insérer ici le nom qu'on veut, tant que c'est grammaticalement correct, et c'est pareil pour notre exemple (2) :

3a) [Le rapport] des frontières était arrivé...
3b) [L'éléphant] des frontières était arrivé...
3c) [Les streptocoques] des frontières étai(en)t arrivé(s)...
3d) ...

Bon ici en l'occurrence il faut que ce soit un nom commun (ou propre ?) masculin singulier, la faute à l'accord du verbe, mais autrement les frontières peuvent nous envoyer à peu près n'importe quoi.

Donc oui, vos textes sont bourrés de variables. C'est juste que vous ne les voyez pas.

Cela dit, il y a un autre domaine que vous avez connu sur les bancs d'école et où les variables ont toute leur importance. Voyons, de quoi je pourrais bien parler... mais si, des "x", des "y", on en a tous avalé des louches entières... les maths' ! Alors on disait "équations à x inconnues", x étant une varia- le nombre d'inconnues dans l'équation, et surprise ! "Inconnues" c'est synonyme de "variables". C'est du pareil au même.

Donc si je vous écris :

4a) x + 1 = 2

Vous avez déjà résolu ça de tête : équation à une inconnue, deux moins un égal "x" et deux moins un ça vaut un donc "x = 1", tiens ta gommette. "x" ici est bien une variable, seulement sa valeur est "contrainte" par l'équation. Dans cette équation, "x" vaut et vaudra toujours 1.

Maintenant, si je vous écris :

4b) x + 1 = y
4c) x + y = z

Équations à deux respectivement trois inconnues (= variables) et vous me direz tout de suite qu'il est impossible de connaître leur valeur. Ce que vous pourrez me dire par contre c'est que, en (4b), "si x vaut 3 alors y vaut 4, si x vaut 10 alors y vaut 11, etc..." Les variables sont toujours contraintes, mais par une autre variable. En (4c) c'est la fête, les contraintes sont si faibles que vous pouvez donner n'importe quelle valeur à "y", les deux autres resteront toujours aussi indéterminées.

Mine de rien on a donc déterminé deux choses : la valeur d'une variable est inconnue ; cette valeur est contrainte par le contexte (au point de devenir connue).

Il reste une troisième chose à déterminer.

Si je vous écris :

4d) x + y = x

Il n'y a que des variables mais pourtant vous êtes capable d'en déterminer une, à savoir y. En fait vous l'avez déjà fait. Laissez-moi le temps de vous rattraper : "y = x - x", "x - x = 0" donc "y = 0", cette fois tu gagnes une médaille en chocolat.

Comment c'est possible ? Eh bien, outre d'être inconnue et contrainte, la valeur d'une variable est... invariable. Ouais on ne sait pas ce que vaut "x", mais "x" vaudra toujours la même chose partout où elle apparaît. Si on remplace "x" par une valeur quelque part, on remplace par la même valeur partout ailleurs.

Pas besoin de faire des maths' pour s'en rendre compte. Reprenez l'exemple (2) à nouveau et regardez la liste : on a "souverain" qui revient deux fois. Mais dans (2a), la seconde fois c'est un "il". Que s'est-il passé ? Eh bien "il" est une variable dont on détermine la valeur par le contexte. Si on le refait avec de vraies variables, ça donne :

5) ... à peine après le retour de x. Après avoir appris l’évasion, x venait maintenant de...

Donc oui, quand je dis que les textes sont bourrés de variables ce n'est pas pour plaisanter, elles sont partout et elles expliquent pas mal de trucs.

Ce n'est pas tout. "Souverain" ça signifie "souverain", mais ça ne désigne pas toujours le même personnage. Ici en l'occurrence ça désigne un bouc, mais dans Oblivion's King le mot peut désigner Sombra, et à l'Assemblée nationale ça désigne plus ou moins le peuple. Si je te dis "j'ai un livre à te montrer", t'as pas la moindre idée de quelle livre je parle, et pourtant "livre" c'est un mot concret. Là encore il s'agit d'une variable contrainte par le contexte et oooooooh ça me rappelle un article ça...

Donc laissez-moi résumer :
- la variable est inconnue
- la variable est contrainte
- la variable est constante

Ce qui m'amène ici à introduire une autre notion : la "constante". En gros, tout ce qui n'est pas une variable est une constante. Dans "x + 1 = 2", les valeurs "1" et "2" sont des constantes. Un vaudra toujours un, deux vaudra toujours deux, un peu comme "souverain" vaudra toujours "souverain".

Mais pas juste. "+" est une constante. Plus sera toujours plus. L'addition va pas soudainement devenir une soustraction juste pour de rire. "=" vaudra toujours "=", c'est constant là aussi. Vous voulez vous en persuader ? Remplaçons-les par des variables :

4e) 1 p 1 p 2 = 2

Vous pouvez remplacer "p" par l'opération qui vous chante, mais... vous avez déjà calculé que pour obtenir 2 vous deviez nécessairement y mettre une multiplication.

EDIT: Okay peut-être pas. Je reprends parce que c'est important. Vous avez une variable, "p", et vous voulez y attribuer une valeur. Mais bon, quel que soit le nombre que vous y mettez, ça vous donne une équation absurde du genre "1 3 1 3 2 = 2", ça ne veut rien dire. En fait, vous savez qu'entre deux nombres il doit y avoir une opération. Ce qui signifie... que "p" doit être une opération. Et en l'occurrence la seule opération qui, avec 1, 1 et 2 permet d'obtenir 2, c'est la multiplication...

Attends wait. "1 / (1/2) = 2" c'est juste aussi... bon autant pour moi ! Ca peut être une multiplication OU une division. My bad. Et peu importe :

Inconnue, contrainte et constante... ouais ouais on vient de faire une variable d'opération !

3 -- Varier les variables

Normalement là je viens de faire éclater votre petite bulle confortable. Rappelez-vous la séparation qu'on avait faite au départ : on avait "variables vs connecteurs", "noms vs verbes" et donc vous deviez en avoir conclu, logiquement, qu'on aurait "nombres vs opérations". Alors comment une opération, comme l'addition ou la multiplication, peut être remplacée par une variable ?

Aaaaaaaah le renard nous a menti !

Euh oui déjà oui je vous ai menti sciemment, mais c'est votre faute c'est vous qui vouliez que je fasse simple. Moi je voulais vous dire d'emblée qu'on pouvait faire des variables d'à peu près n'importe quoi, mais si je vous l'avais dit d'entrée de jeu vous auriez commencé à courir comme des poules de Zelda et personne ne veut d'une situation pareille.

Donc oui, on peut faire des variables de n'importe quoi. Et pour vous l'expliquer je vais reprendre l'exemple (2), encore et toujours, et comme il date pour vous éviter de scroller tout là-haut je vais vous le remettre, puis vous en re-lister les variables :

2a) "Le rapport des frontières était arrivé quelques minutes à peine après le retour du souverain. Après avoir appris l’évasion, il venait maintenant de prendre connaissance de la débâcle dans l’Empire de Cristal." (Acylius, Dernier Sortilège, ch.14)

2c) p
2d) p q
2e) p q r s
2b) p q r s t u t v w x y
2f) ...

Brièvement : en (2c) j'ai listé les paragraphes, en (2d) les phrases, en (2e) les "propositions" (cherche pas) et en (2b) les noms. J'aurais pu aussi lister toutes les lettres du texte, mais passons.

Avant même de pouvoir déterminer la valeur d'une variable, il faut pouvoir en déterminer la "catégorie". Le type de variable dont il s'agit. Phrase ? Nom ? Nombre ? Il peut y avoir des variables d'à peu près n'importe quoi. En informatique c'est très connu :

bool i;  <- variable "boolean", pour le vrai et le faux
int i;  <- variable "integer", pour les nombres
char i;  <- variable "character", pour les caractères
...

À chaque fois la variable c'est "i", mais à chaque fois on change de catégorie. Et là vous vous demandez "mais comment on connaît la catégorie de la variable si tout ce qu'on a c'est "i" ?" et pour être honnête on répondra à ça dans un autre article. Dans le troisième ou le quatrième, donc patience.

Pour le moment, j'aimerais juste revenir sur les équations mathématiques, et le fait de transformer une opération en variable. Si je vous écris :

6a) a + b c d

Ça vous semble impossible à lire ? Vous avez sans doute essayé de tout remplacer par des nombres et ça vous a donné genre "1 + 3 4 5", ouais effectivement c'est absurde. Mais vous avez aussi pu vous arrêter deux secondes et faire... "attends... c'est une équation... il est où le signe d'égalité ?" Et bon il ne peut pas être à trois mille endroits : vous en avez conclu que "c" vaut "=" et, donc que c'était une opération, "a", "b" et "d" étant eux des nombres. Et tu t'es donné une petite tape sur le dos tellement t'es fort. Une fois encore, la variable est contrainte par le contexte, donc il y a moyen de retrouver la catégorie.

On teste ?

6b) a b + c d e

Okay, là encore tu es en train de suer en regardant s'écouler les minutes sur ta montre parce que bon sang ! Ce prof' est un sadique de te fiche ça. Mais réfléchissons posément. "c d e" on l'a déjà résolu, on sait que "d" est une égalité. Restent "a b". Si les deux sont des nombres ça coince, les deux ne peuvent pas être des opérations donc lequel est quoi ? Et si je vous écris "4^2" ? Ça se lit "quatre au carré" ou "quatre puissance deux" et ça peut s'écrire avec juste le "2" en exposant. Yup, "b" est une puissance.

Donc oui, on peut avoir des variables de différentes catégories, mais notre cerveau arrive à gérer ça. En langue française on le fait tout le temps :

7) Fatiguant à la longue, Tom est parti de la fête.

"Fatiguant" c'est un adjectif ou un participe présent ? Est-ce que Tom est parti parce qu'il fatiguait, ou est-ce que les autres en avaient marre de lui ? Pas besoin de règle orthographique pour le déduire : le contexte nous renseigne. Les gens connaissent Tom, le texte est écrit de manière à nous clarifier ça. Et au besoin, si au lieu de Tom on avait Rarity, l'absence d'accord nous renseignerait aussitôt.

Tu m'entends, correcteur orthographique pourri ? Soit tu me mets un "u" soit tu ne m'en mets pas mais va pas m'inventer des règles débiles !

Coup de gueule à part, yup, face à un texte on passe notre temps à replacer les catégories grammaticales, et on le fait sans même y penser, à force de lire c'est automatique. Genre quelle était la catégorie de "automatique" ? C'était un adjectif, mais vous n'avez même pas eu à y penser. Si je vous écris "il est Pinkie Pie ce meuble" soit vous avez décidé que "Pinkie Pie" était un nom propre, et vous m'avez corrigé en "il est à Pinkie Pie ce meuble", soit vous avez reconnu un adjectif et vous comprenez que le meuble est loufoque.

Bon.

Ces histoires de catégories c'est bien gentil mais j'aurais pu vous en parler dans un article ultérieur, pourquoi je vous pourris la vie avec ça maintenant ?

Eh bien parce que je vous ai encore menti. Ouais c'est pas cool, criez au haro mais en (5a) on a bossé dur pour retrouver les catégories, on était tout fier et j'ai hoché la tête sans rien dire. En vérité toute notre démonstration est complètement foireuse. Tenez-vous à votre clavier, je vous explique.

Vous voyez l'équation (4a) ? Rappelez-vous, "x + 1 = 2". C'est une équation. C'est un peu comme un paragraphe. Et on a déjà réduit un paragraphe en une variable. Donc qu'est-ce qui nous empêcherait de réduire cette équation en une variable ? Disons, oh, je ne sais pas... "d" ?

6c) a + b c x + 1 = 2

Booooon ! On s'était planté en beauté en fait ! Mais là vous vous dites, parce que vous êtes au taquet : "mais 'c' est forcément toujours une opération !" Ouais. Ou pas. Vous voyez le "x +" en (4a) ? Qu'est-ce qui m'empêche de...

6d) a + b x + x + 1 = 2

Et là vous avez révisé votre logique, déjà parce que "b" ne peut plus être juste un nombre mais qu'il ne peut pas non plus être juste une opération : "+" exige un nombre à droite. Aussi, vous avez dû commencer à vous méfier et faire "mais et si x était plus qu'un nombre ?" Si vous vous êtes demandé ça, c'est bon, vous avez enfin compris la logique des variables. Et je vous rassure : peu importe ce qu'est "x", il contient un nombre à gauche, vu qu'il apparaît à droite d'un "+" et qu'on vient de dire que... bref. On en conclut que "b" est une variable commençant par un nombre et finissant par une opération. Avec n'importe quoi au milieu.

Donc :
- Une variable est d'une catégorie donnée
- Une variable peut contenir plus d'un élément
- Une variable peut contenir d'autres variables

Et on a enfin fait le tour sur les variables !

4 -- Pour les flemmards

Aussi appelé "conclusion", je me doute que tout le monde n'a pas eu la patience de tout lire donc on va tout résumer ici :

1) La variable a une valeur :
- inconnue
- contrainte
- constante

2) La variable peut :
- être de différentes catégories
- contenir plus d'un élément
- contenir d'autres variables

Une variable est une abstraction, un [veuillez insérer...] qui ne vous dit pas immédiatement quoi insérer. Elle est inconnue : on ne sait pas ce qu'il faut insérer. Elle est contrainte : on devine ce qu'il faut insérer en regardant ce qu'il y a autour. Elle est constante : partout où la même variable apparaît, on insère la même chose.

Une variable peut abstraire n'importe quoi. Ce "n'importe quoi" est la catégorie et, suivant la catégorie, celle-ci peut contenir un tas de sous-catégories dont rien n'empêche certaines d'être également des variables. En gros, derrière une variable il peut vraiment se cacher n'importe quoi.

La meilleure démonstration de ça, en langue française, c'est ce qu'on appelle "l'anaphore résomptive".

Une anaphore c'est... attendez je vais sur wikipedia... un "mot qui reprend un mot apparu avant lui", en gros. Genre "il" pour "le souverain". Donc des anaphores on en croise tous les jours, c'est les mots qui se réfèrent à d'autres mots déjà utilisés auparavant. Mais appliquez la logique des variables -- l'anaphore en est une. Qu'est-ce qui nous empêcherait de nous référer à autre chose qu'un mot ? Pourquoi pas à une phrase ? À plusieurs phrases ? À un paragraphe ? Non oh allez, à tout un texte ? L'anaphore résomptive fait ça : "la débâcle dans l'Empire de Cristal" (exemple (2)) est une anaphore, et vous savez à quoi elle se rapporte ? À tout un chapitre. Le texte vous a fait "je te parle d'une débâcle, devine laquelle", vous avez regardé le contexte et ça vous a renvoyé à un chapitre complet. Un chapitre, des dizaines d'événements, des milliers de mots, tout ça résumé en "débâcle". C'est puissant les variables, quand on y pense.

Bon ! Les variables c'est fait, la prochaine fois on parlera... des valeurs de vérité ! Et je vous dirai pourquoi, mais pour l'instant je vais stresser, F5 mon navigateur et vérifier si la base de la base de la logique formelle a réussi à passer.

On verra, ce sera déjà bien si j'ai réussi à vous faire cogiter et donner de la matière, fanficers,
à vos plumes !