La logique. Aller aux commentaires

27 septembre 2014

Hi'.

Un jour, j'ai parlé d'inférence. C'est-à-dire, face à un texte, rajouter ce qu'on sait nous, lecteurs, pour obtenir une interprétation. Mécanisme automatique et fondamental de la communication.

Ce mécanisme n'est pas juste essentiel au fonctionnement de vos textes ; il explique aussi pourquoi l'humanisme est impossible.

Si vous avez lu l'article sur l'inférence, vous savez qu'on trie l'information pour ne retenir que ce qui est pertinent. C'est assez compliqué à décrire mais on le résume en général par : "obtenir le maximum d'effet pour le minimum d'effort" (ou loi de l'optimalité). En d'autres termes, si traiter l'information demande trop d'efforts, on ne la traitera pas. Et maintenant vous savez quoi ? Une information qui va contre vos idées et valeurs est très, très, très coûteuse à traiter. Cela signifie que le filtre ne retient en général que les informations en accord avec ce que vous pensez déjà. Bref, je ne suis pas cognitiviste mais ouais, vous ne retenez que ce qui vous arrange.

C'est humain.

Bien sûr, le problème, c'est que l'humanisme vous demande de faire le contraire. Faire des efforts démesurés pour accepter les informations qui vous contredisent. Ça s'appelle l'esprit "critique".

Le rapport avec la logique ?

Aucun.

J'avais juste besoin d'en parler.

Ça et le fait que, si l'inférence est le premier pilier de ma théorie littéraire, la logique en est le second. Cela fait donc depuis mon article sur l'inférence que je rêvais de vous parler de logique, mais c'est tellement difficile que le résultat n'a jamais justifié l'effort. Ouais je suis pragmatique. C'est humain. Et puis, bien sûr, les... circonstances... m'ont poussé à reprendre le sujet.

****

On va commencer par parler du "raisonnement logique", ou "rigoureux", que je simplifierai ici par la capacité d'abstraction. Et on va pour cela voir deux niveaux d'abstraction.

Donc posons un problème :

1) "Une voiture bon marché est rare. Ce qui est rare est cher. Donc une voiture bon marché est chère."

Ceci est une contradiction, ce qui est bon marché n'est pas censé être cher. On vous demande de résoudre la contradiction. Ma réaction, et celle de pas mal d'autres, est de prouver par A + B que si, les voitures bon marché sont chères, et blablabla... c'est normal, on ne pense pas rigoureusement.

Rigoureusement parlant, il faut abstraire :

1a) "Un machin truc est bidule. Ce qui est bidule est non-truc. Donc un machin truc est non-truc."

Plus de voiture, plus de prix, on n'a plus que des machins et des trucs. On a vidé le "contenu", le contenu on s'en fiche. C'est comme lorsqu'on commente un texte : vous n'avez pas à juger du contenu. Comment je te carre de la littérature de nulle part... Mais bref. Ici l'abstraction nous montre qu'on a un objet "machin truc" qui est composé de deux objets, et ça c'est pas cool. Donc on va corriger ça :

2) "Un truc est bidule. Ce qui est bidule est non-truc. Donc un truc est non-truc."
2a) ~([p][ ~( [q][ e{ p q } ] ) ]) ; [pqr][ >( e{ r q } e{r ~(p)} ) ] ; ~([p][ ~( e{ p ~(p) } ) ])

Okay d'accord, le langage qu'utilisent les logiciens pour "abstraire" le problème est un... brin... plus compliqué que des trucs et des bidules, mais pourtant je vous jure que (2a) dit la même chose. C'est juste qu'en logique on est des maniaques, on crée des langages "formels", artificiels, qui évitent toute inférence. Mais si, l'inférence, rappelez-vous, le truc qui provoque des interprétations différentes selon qui lit le texte. Avec un langage artificiel, pas d'inférence possible, il n'y a qu'une et une seule interprétation.

C'est pour ça qu'on abstrait.

Je dois insister : on a abstrait le problème pour ne plus s'intéresser au contenu, seulement à la structure autour. Cela signifie que la structure peut s'appliquer à n'importe quoi :

2b) "Un poney est mignon. Ce qui est mignon n'est pas poney. Donc ce qui est poney n'est pas poney."
2c) "Un carré est troglodyte. Ce qui est troglodyte est rond. Donc ce qui est carré est rond."
2d) etc...

L'abstraction a réduit le problème a des "variables". Ce sont les lettres "p", "q" et "r" dans le truc barbare de l'exemple (2a), et nos "trucs" et "bidules" en (2). Une variable peut être remplacée par n'importe quoi, sous conditions mais on n'a pas le temps pour ça donc je répète, une variable est un objet abstrait qu'on peut remplacer par n'importe quel objet concret.

C'est le premier degré d'abstraction.

On appelle cette logique la logique "des prédicats" ou, si vous préférez, des objets. Et chez les psychopathes comme moi, on appelle ça "l'ontologie". La bonne nouvelle c'est que ce n'est pas le degré d'abstraction dont je veux vous parler.

Nous, on va abstraire encore plus.

Yup.

Vous avez dû remarquer qu'on a à chaque fois trois "phrases". C'est normal, c'est un syllogisme (fais chauffer ta recherche Google). On pourrait obtenir la même chose en une phrase :

2e) "Un truc et bidule, et un bidule est non-truc, donc..."

Alors on va arrêter de parler de phrase et parler à la place de "proposition". Qu'est-ce qu'une "proposition" ? C'est l'unité minimale à partir de laquelle on peut dire si c'est vrai ou faux. Ou, pour dire la même chose avec d'autres mots : si tu peux dire si c'est vrai ou faux, c'est une proposition.

3a) "Un chat."
3b) "C'était quoi ?" - "Un chat."
3c) "Un chat est mignon."

L'exemple (3a) n'est pas une proposition. On nous a juste posé un objet, et l'objet lui-même bah... qu'est-ce que tu veux en dire ? Par contre, si tu mets du contexte comme en (3b), là on peut estimer si c'est vrai ou faux. C'est simple, si c'était bien un chat qui a, je sais pas, fait grincer la porte, alors "un chat" est vrai. Et bien sûr, (3c) est un cas typique de proposition. Soit le chat est mignon, soit il ne l'est pas, c'est... vrai ou faux.

Faites semblant d'être d'accord, s'il vous plait, sinon on y est encore dans deux semaines.

Il y a donc le niveau de l'objet (logique des prédicats) et le niveau de la proposition (logique des... propositions). Et nous on va travailler au niveau de la proposition. Donc au niveau des propositions, le problème qu'on se posait en (2) s'écrit ainsi :

2e) "P1 ; >( P1 P2 ) ; P2"

Ouf ! C'est toujours incompréhensible pour vous mais eh, avouez que c'est beaucoup plus lisible qu'avant ! Non je déconne je triche, j'ai simplifié le langage. En vérité c'est :

2f) [p1p2][ >( ^( p1 >( p1 p2) ) p2 ) ]

Mais eh, c'est toujours plus court que (2a) alors avouez qu'on y gagne. Ce n'est pas pour rien que je veux travailler au niveau des propositions : c'est beaucoup plus simple. Et pour ceux qui n'ont toujours pas compris ce qu'est une "proposition", dites-vous que c'est l'équivalent d'une phrase et continuez de hocher la tête bien gentiment. Pour les autres, on continue.

C'était le second niveau d'abstraction.

****

On va donc travailler avec un langage formel. Celui-ci est composé de :
- variables
- connecteurs
Les "variables" on a déjà vu ce que c'était. C'est un terme abstrait qu'on peut remplacer par n'importe quoi. Les "connecteurs" sont des manières d'agir sur nos variables. Un peu comme en maths' on a "+", "%" et autres exposants. En logique on a nos propres symboles pour agir sur les nombr- les variables.

Commençons par les variables.

4) p

En logique classique, l'exemple (4) nous donne une variable "p". Le problème de la logique classique est qu'elle introduit des variables libres ou liées en plus des constantes à côté et c'est un véritable sac de noeuds. C'est pour ça qu'on va adopter un autre langage logique qui, lui, exige de toujours déclarer une variable :

4a) [p][ p ]
4b) "Pour tout p, p."

Je vous ai mis en (4b) comment (4a) se lit. Les crochets "[ ]" sont appelés des "quantificateurs". C'est le "pour tout". On note dans les crochets de gauche toutes nos variables et, dans les crochets de droite, on écrit la formule logique elle-même.

Pourquoi est-ce que je vais nous obliger à mettre des crochets partout ? Parce que je suis un sadique très méchant. Mais aussi parce que lesdits crochets transforment "p", qui comme dit n'est qu'un objet, donc sans valeur de vérité, en proposition. "P" n'est pas une proposition, mais "[p][ p ]" en est une. Un quantificateur dit que s'il y a la moindre chance, même infime, que la formule à l'intérieur soit fausse, alors la proposition est fausse.

En l'occurrence, [p][ p ] est faux.

On a dit qu'on pouvait remplacer une variable par n'importe quoi. Donc je pourrais remplacer "p" par une proposition fausse. Cela signifie que le contenu de [p][ p ] peut être faux, donc l'ensemble est toujours faux. On vient de définir le "faux". Yup.

Vous voulez qu'on définisse le vrai ?

5) [p][ ≡( p p ) ]
5a) "Pour tout p, p équivaut à p."

Ceci est une vérité absolue. Vous pouvez remplacer "p" par ce que bon vous chante, ce sera toujours vrai. Et ça c'est possible parce qu'on a un connecteur, en l'occurrence "≡( - - )".

Donc continuons par les connecteurs.

Si on n'avait que des variables, on serait bloqué pour toujours à [p][ p ]. Heureusement, on peut agir sur nos variables. On va se donner une série d'outils pour ça :
- ~(-)
- ^( - - )
- >( - - )
Eeeeeet je pense que ça suffira pour le moment.

"~(-)" représente la "négation". Je fais un abus de langage en l'appelant un "connecteur" vu qu'il ne porte que sur une seule variable, mais on ne va pas commencer avec la manière dont on appelle les choses. La négation dit exactement ça : "il est faux que..." Donc si j'écris :

6) ~([p][ p ])

Cette proposition (6) sera toujours vraie. Facile. On a dit que [p][ p ] était toujours faux, si c'est faux que c'est faux alors c'est vrai... la négation inverse la valeur de la proposition qu'elle contient. À noter que :

7) [p][ ~(p) ]

Est toujours toujours faux. Bah oui, "p" pourrait être une proposition vraie. Du coup le quantificateur contiendrait toujours une proposition fausse, etc... Je sais que là vous lisez tout ça et c'est du chinois pour vous, et vous vous dites que je complique inutilement mais en fait cette histoire de quantificateurs simplifie tellement, mais tellement les choses... vous avez pas idée.

"^( - - )" représente la "conjonction", ou le "et" si vous préférez. Il n'est vrai que si les deux propositions à l'intérieur sont vraies. Je veux écrire "Paul est là et Pierre est parti" ? Facile :

8) [pq][ ^( p q ) ]
8a) "Pour tout p q, p et q."

Vous remplacez "p" par "Paul est là" et "q" par "Paul est parti" et voilà ! Notez aussi que la proposition (8) est fausse, pour les mêmes raisons qu'en (4) ou (7).

Bien sûr, si on a un "et", on a un "ou". On en a deux en fait, "v( - - )" et "w( - - )". Le premier dit que l'une des deux propositions est vraie, et l'autre fausse. Le second dit qu'au moins une des deux propositions est vraie, mais les deux peuvent l'être en même temps. Personnellement je n'utilise jamais ces connecteurs et on ne les verra plus ici, mais ils existent. En fait, il y a des tonnes de connecteurs qui existent et dont on ne parlera pas, vous avez pas idée là non plus. Bref.

">( - - )" est le dieu sacré ô divinité toute-puissante de la création des connecteurs logiques.

Il s'agit de "l'implication", le "si... alors..." ou comme moi je préfère l'appeler, "l'hypothèse". Elle dit en gros que si la proposition à gauche est vraie, alors la proposition de droite l'est aussi. Dans ">( p q )" (merci de rajouter les quantificateurs), "p" implique "q", donc si "p" est vrai alors "q" l'est aussi. Ce connecteur nous permet de déduire, donc, de raisonner. Quand je vous disais que ce truc fait le café.

Il y a ENCORE plus puissant que l'implication, c'est "l'équivalence", ou "≡( - - )", mais là c'est juste trop puissant pour nous. Ce symbole, qui dit que chaque proposition implique l'autre, permet... de définir nos propres connecteurs.

Juste... juste.

Juste.

Non, juste, laissez parler le fanboy en moi, ce truc est génial ! Vous vous rappelez en (4), on disait que [p][ p ] équivalait au "faux" ? Buck that, on va le définir !

4c) ≡( F [p][ p ])

Je viens de créer le connecteur "F", qui ne porte sur aucune variable/proposition, donc oui c'est une constante. Et à qui équivaut ce connecteur ? Au faux ! La même chose pour le vrai ? Reprenez (5), créez la constante T, et paf. L'équivalence ça fait le café.

L'implication, à côté, c'est une petite joueuse. Elle vous permet juste de raisonner. Pfff...

****

Reprenons. Parce que je sais que vous êtes cooooomplètement perdus.

Un logicien abstrait le texte à l'aide d'un langage "formel" composé de variables et de propositions. Les variables sont des termes abstraits à l'intérieur de quantificateurs kifonpeur et les connecteurs sont des moyens d'agir sur les variables. Notamment on va utiliser la négation, la conjonction et l'implication.

Okay ?

Okay.

En logique classique, un raisonnement est une suite de propositions les unes après les autres, chacune découlant des précédentes. On commence par poser des "prémisses", c'est-à-dire nos propositions de départ, qu'on suppose vraies, et à partir de là on applique des règles pour obtenir les propositions qu'on veut.

1  | p             Prémisse
2  | >( p q )    Prémisse
3  |----------
4  | q             1,2, >e

C'est là où on va voir si l'éditeur de texte d'MLP Fictions conserve la mise en page, sinon mes excuses par avance.

Ce que vous voyez est un raisonnement logique, en 4 lignes. Les lignes 1 et 2 vous donnent les prémisses. C'est pour ça qu'il y a écrit "prémisse" à droite. Et qu'à gauche il y a le numéro de la ligne. Ça aide à s'y retrouver. Vous aurez reconnu bien sûr nos propositions (sans quantificateur) au centre... et... et y a... cette bizarre de ligne, là... c'est quoi ce truc ?

En logique classique, le raisonnement prend place dans un "espace de raisonnement", représenté ici par cette bizarre de ligne verticale. La ligne 3 est esthétique, elle sépare les prémisses du raisonnement lui-même, genre la ligne 4 qui nous dit que : "des lignes 1 et 2, on peut appliquer la règle d'élimination de l'implication". Cette règle dit, justement que si on a "p" et ">( p q )", on peut écrire "q". C'est... exactement ce qu'on a fait.

Woohoo pour nous.

Mais revenons à l'espace de raisonnement. C'est quoi ce truc ? Eh bien... c'est une hypothèse. Pour preuve :

1 | | p                       HYP
2 | |---
3 | | | >( p q )            HYP
4 | | |----------
5 | | | p                     1, rep>
6 | | | q                     3,5, >e
7 | | >( >( p q ) q )     3-6, >i

En ligne 1 on a créé une hypothèse (c'est le gros "HYP" à droite), et pour ça on a rajouté une bizarre de ligne. Idem en ligne 3, ça en fait des bizarres de lignes. C'est normal, à chaque fois on a dit "à droite de cette ligne, telle proposition est considérée vraie". Ce sont des espaces de raisonnement dans lesquelles ladite proposition est considérée... vraie. L'hypothèse nous permet ainsi d'introduire nos propres propositions au sein d'un raisonnement (inférence, quelqu'un ?) sans causer de contradiction : si notre proposition est fausse, elle ne causera des problèmes qu'au sein de son espace de raisonnement.

Nous, on va se passer des bizarres de lignes. Tout simplement parce qu'elles sont équivalentes à l'implication :

1 [p][ >( p p ) ]
...
3 [pq][ >( p >( >( p q ) >( p q ) ) ) ]
...
5 [pq][ >( p >( >( p q ) p ) ) ]
6 [pq][ >( p >( >( p q ) q ) ) ]
7 [pq][ >( p >( >( p q ) q ) ) ]

Eeeeyup. Vous pouvez vérifier (non vous ne pouvez pas, sauf si vous êtes logicien) mais chaque ligne de ce raisonnement est vraie. Rappelez-vous (5) : [p][ ≡( p p ) ]. On a dit que ça, c'était la définition du vrai (c'est toujours vrai). Eh bien si l'un implique l'autre, alors (5) équivaut à deux [p][ >( p p ) ]. Ce qui signifie que notre ligne 1 est toujours vraie. Et à la ligne 3, qu'est-ce qu'on a fait ? Exactement la même chose, sauf qu'à la place de "p" on a mis ">( p q )".

Voilà comment on raisonne en "protothétique", ou logique des propositions.

Mais bref.

****

Question.

À quoi tout ça a servi ?

Je viens de vous résumer, en un article plutôt long, les bases de la "protothétique", ou logique des propositions. Je vous ai donné des variables, quelques connecteurs et... je ne vous ai même pas dit comment la moitié fonctionnaient. Je ne vous ai pas donné les règle et je ne vous ai pas dit comment calculer les valeurs de vérité (car si, il existe un moyen de le faire précisément). Je ne vous ai même pas dit comment passer d'un quantificateur universel à un quantificateur particulier... parce qu'on s'en fout.

Ça, là, ce langage barbare et toutes ces règles : c'est la logique. Formelle. Ce n'est qu'un seul système logique parmi tous ceux qui existent mais c'est ça, la logique.

La logique consiste à abstraire un problème, à le réduire à des termes abstraits pour en observer le raisonnement. Vous pouvez réduire un texte entier à ses propositions -- et si vous êtes un gros malade, à ses prédicats -- et vous obtiendrez alors la logique du texte, c'est-à-dire la manière dont le texte "raisonne".

9) "Twilight se rendit chez la princesse Luna. Elle frappa à la porte mais personne ne lui répondit. Un bruit vers la fenêtre attira son attention. La princesse de la nuit s'introduisit en silence et lui fit signe de ne pas faire de bruit."

On abstrait, ça doit donner quelque chose comme :

9a) [pqrstu][ >( p >( MAIS( q r ) > ( s >( ^( t u ) ) ) ) ]

J'ai inventé le connecteur ad hoc "MAIS", qui peut être défini (si si), et on a désormais ici la structure du texte. Vous voyez maintenant pourquoi je parlais de causalité ? Alors bien sûr, c'est une représentation plutôt simpliste et franchement imprécise du texte. La "vraie" représentation serait illisible mais tout ça pour dire que oui, le texte a une logique. Celle-là.

On va donc enfin pouvoir parler de cohérence.

Un texte incohérent n'est pas un texte qui défie notre conception du monde, genre :

10) "Twilight chuta de mille mètres. Elle frappa durement le sol puis se releva, un peu secouée."

ELLE VIENT DE TOMBER DE MILLE M- punaise... Okay ici le texte est invraisemblable mais il est cohérent. Il n'a dit nulle part qu'une chute de mille mètres était mortelle. Il a juste dit que Twilight a chuté de mille mètres. [p][ >( p >( q q ) ) ], si on a "p" on a "q", le texte vous dit que si le personnage tombe de mille mètres il est secoué. C'est la logique du texte, ta gueule.

Un texte incohérent est un texte qui contredit sa propre logique :

11) "Twilight se rendit chez la princesse Luna. La princesse n'était pas là. Luna l'accueillit et la fit entrer poliment."

Mais... mais on vient de dire que la princesse n'était pas là ! Elle tombe d'où ?! Tu peux faire comme tu veux, le texte ici se contredit, il est donc incohérent. Alors bien sûr ici c'est assez évident (et encore, il y en aura pour me trouver une explication... il y a toujours moyen de...) mais les incohérences peuvent être bien plus subtiles. Elles peuvent notamment porter sur les attentes du texte, sur le comportement des personnages, sur la manière de résoudre une difficulté... il y a un contrat de lecture entre le lecteur et l'auteur, une série de règles là aussi que le texte ne doit pas contredire.

Cela dit, ces cas plus "subtils" portent sur l'interprétation du texte. Les attentes, la perception des personnages, le contrat de lecture... tout ça dépend aussi du lecteur, des inférences qu'il fait. Pour être vraiment rigoureux, il faut s'en tenir au texte -- et, si vraiment, démontrer que le texte cherche à produire ces interprétations.

Parce que si on dit qu'un texte est incohérent à cause d'une inférence que nous, lecteurs, on a faites, malgré le texte, alors on n'est plus en train de parler de la logique du texte : on est en train de parler de notre logique à nous.

C'est la différence entre une critique "subjective" et une critique "objective". Dire comment on a perçu le texte, ou tenter de dire ce que le texte a voulu nous faire percevoir -- et s'il a réussi.

Donc quand vous commentez...

S'il vous plait...

Faites preuve d'esprit critique.